高等数学——微分方程
文章目录
- 概念
- 一阶微分方程
- 可降阶的微分方程
- 高阶线性微分方程
- 线性微分方程解的结构
- 常系数齐次线性微分方程
- 常系数非齐次线性微分方程
概念
- 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。
- 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。
- 微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解。
- 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。
- 微分方程的特解：微分方程不含有任何常数的解称为特解。
- 初始条件：确定特解的一组常数称为初始条件。
- 积分曲线：微分方程的一个解在平面上对应的一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式：dydx=f(x,y)\frac{dy}{dx}=f(x,y)dxdy=f(x,y)
- 可分离变量的微分方程：能表示为g(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dxg(y)dy=f(x)dx的微分方程称为可分离变量的微分方程。求解的方法是两端积分∫g(y)dy=∫f(x)dx\int g(y)dy=\int f(x)dx∫g(y)dy=∫f(x)dx。
- 齐次微分方程：能表示为dydx=φ(yx)\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})dxdy=φ(xy)的微分方程称为齐次微分方程。求解齐次微分方程的一般方法：令u=yxu=\frac{y}{x}u=xy，则dydx=u+xu′\frac{dy}{dx}=u+xu'dxdy=u+xu′，从而将原方程化为xu′=φ(u)−uxu'=\varphi(u)-uxu′=φ(u)−u，此方程为可分离变量的微分方程。
- 一阶线性微分方程（未知函数yyy和y′y'y′都是一次）：形如dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)dxdy+P(x)y=Q(x)的方程称为一般线性方程。求解一般线性方程的一般方法：常数变易法，或直接利用以下通解公式：y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]。
可降阶的微分方程
- y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x)y(n)=f(x)型的微分方程，可两边同时积分直至将原方程降为一阶微分方程。
- y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')y′′=f(x,y′)型的方程。只需令y′=P,y′′=dPdxy'=P,y''=\frac{dP}{dx}y′=P,y′′=dxdP，可将原方程化为一阶微分方程。
- y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')y′′=f(y,y′)型的方程。只需令y′=p,y′′=pdpdyy'=p,y''=p\frac{dp}{dy}y′=p,y′′=pdydp，可将原方程化为一阶微分方程。
高阶线性微分方程
线性微分方程解的结构
这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推广到更高阶的方程，二阶线性微分方程的一般形式为y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)这里的p(x),q(x),f(x)p(x),q(x),f(x)p(x),q(x),f(x)均为连续函数，当齐次方程右端的f(x)≡0f(x)≡0f(x)≡0时，称为二阶线性齐次方程，否则就称为二阶线性非齐次方程。
- 齐次方程：y′′=p(x)y′+q(x)y=0①y''=p(x)y'+q(x)y=0①y′′=p(x)y′+q(x)y=0①
- 非齐次方程：y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)②y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)②y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)②
如果y1(x)y_1(x)y1(x)和y2(x)y_2(x)y2(x)是齐次方程①的两个线性无关（线性无关的充要条件是它们之比不为常数）解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)y=C1y1(x)+C2y2(x)就是齐次方程①的通解。如果y∗y^*y∗是非齐次方程②的一个特解，y1(x)y_1(x)y1(x)和y2(x)y_2(x)y2(x)是齐次方程①的两个线性无关特解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x)y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x)y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x)就是非齐次方程②的通解。如果y1∗(x)y_1^*(x)y1∗(x)和y2∗(x)y_2^*(x)y2∗(x)是非齐次方程②的两个特解，那么y(x)=y2∗(x)−y1∗(x)y(x)=y_2^*(x)-y_1^*(x)y(x)=y2∗(x)−y1∗(x)是齐次方程①的解。如果y1∗(x)y_1^*(x)y1∗(x)和y2∗(x)y_2^*(x)y2∗(x)分别是方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)和y′′+p(x)y′+q(x)y=f2(x)y''+p(x)y'+q(x)y=f_2(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f2(x)的特解，则y1∗(x)+y2∗(x)y_1^*(x)+y_2^*(x)y1∗(x)+y2∗(x)是方程y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x)y''+p(x)y'+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x)的一个特解。
常系数齐次线性微分方程
二阶带常系数线性齐次微分方程的一般形式为y′′+py′+qy=0③y''+py'+qy=0③y′′+py′+qy=0③其特征方程为r2+pr+1=0r^2+pr+1=0r2+pr+1=0，设r1,r2r_1,r_2r1,r2为该方程的两个根：
- 若r1≠r2r_1≠r_2r1=r2为两个不相等的实特征根，则方程③的通解为y=C1er1x+C2er2xy=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}y=C1er1x+C2er2x
- 若r1=r2r_1=r_2r1=r2为二重实特征根，则方程③的通解为y=(C1+C2x)er1xy=(C_1+C_2x)e^{r_1x}y=(C1+C2x)er1x
- 若r1=a+iβ,r2=a−iβr_1=a+i\beta,r_2=a-i\betar1=a+iβ,r2=a−iβ为一对共轭复根，则方程③的通解为y=eax(C1cosβx+C2sinβx)y=e^{ax}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)y=eax(C1cosβx+C2sinβx)
常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次微分方程的一般形式为y′′+py′=qy=f(x)④y''+py'=qy=f(x)④y′′+py′=qy=f(x)④
- 若f(x)=Pm(x)eλxf(x)=P_m(x)e^{\lambda x}f(x)=Pm(x)eλx，其中Pm(x)P_m(x)Pm(x)为xxx的mmm次多项式，则方程④的特解可设为y∗=xkQm(x)eλxy^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}y∗=xkQm(x)eλx其中Qm(x)Q_m(x)Qm(x)是与Pm(x)P_m(x)Pm(x)同次的多项式，kkk是特征方程含根λ\lambdaλ的重复次数。
- 若f(x)=eαx[Pl(1)(x)cosβx+Pn(2)(x)sinβx]f(x)=e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)cos\beta x+P_n^{(2)}(x)sin\beta x]f(x)=eαx[Pl(1)(x)cosβx+Pn(2)(x)sinβx]，其中Pl(1),Pn(2)P_l^{(1)},P_n^{(2)}Pl(1),Pn(2)分别是xxx的lll次和nnn次多项式，则方程④的特解可设为：y∗=xkeax[Rm(1)(x)cosβx+Rm(2)(x)sinβx]y^*=x^ke^{ax}[R^{(1)}_m(x)cos\beta x+R^{(2)}_m(x)sin\beta x]y∗=xkeax[Rm(1)(x)cosβx+Rm(2)(x)sinβx]其中Rm(1)(x)R^{(1)}_m(x)Rm(1)(x)和Rm(2)(x)R^{(2)}_m(x)Rm(2)(x)是两个mmm次多项式，m=max(l,m)m=max(l,m)m=max(l,m)。
- 当α+iβ\alpha+i\betaα+iβ不是方程③的特征根时，取k=0k=0k=0。
- 当α+iβ\alpha+i\betaα+iβ是方程③的特征根时，取k=1k=1k=1。