这章节我们来解决的问题是：如何使用神经网络实现逻辑电路中的“异或门”模型？

如下图：

根据第2章我们知道，单层感知器是能够解决“与门”、“或门”、“非门”这些简单的线性问题，但是不能解决“异或门”这类非线性问题。

1.1 解决异或门问题的思路

如果在单层感知器上增加一层，能够很好的解决异或问题。

例如网络结构如下：

我们把每一个感知器节点代表了一个分类器，那么几个节点学习到的分割线如下：

以上3个节点的组合就可以解决异或门问题。

1.2 sigmoid激活函数 -- 线性转为非线性

多层感知器中，我们期望分割面是非线性的，故选择为sigmoid为激活函数。

sigmoid表达式和曲线：

sigmoid函数也叫 Logistic 函数，取值范围为(0,1)，它可以将一个实数映射到(0,1)的区间。

求导如下：

这个公式在计算梯度的时候用到。

那么采样非线性激活函数，神经网络就有可能学习到平滑的曲线来分割平面，从线性到非线性。

1.3 新的问题

按照单层感知器的权重更新，节点3的权重更新可以轻松求得；但是节点1和节点2权重的更新如何求解呢？

按照公式如下：

要求得w111必须要知道节点1的期望值，但是节点1,2的期望值不存在，不能直接求其梯度。

解决方案：误差反向传播算法（Backpropagation，BP算法）

1.4 误差反向传播算法 -- BP算法

神经网络的训练关键在于如何调整权值和阈值，采用的算法：

（1）单层感知机的算法：梯度下降算法；

（2）多层感知器的算法：误差反向传播算法（error Back Propagation）,简称BP算法。

反向传播过程如下：

在多层神经网络中，从最后一层开始，逐层的反向进行误差信息传递，并更新相应权重。使用BP算法的多层前馈（向前传播方式没有回路或者环路）网络又称之为BP神经网络；

BP神经网络学习过程：

以下图来源：http://galaxy.agh.edu.pl/~vlsi/AI/backp_t_en/backprop.html

（1）以一个3层全连接网络来为例子

下面通过一个3层全连接网络来讲解，包含2个输入、2个隐藏层（第1层3个节点、第2层2个节点）、一个输出（第3层1个节点），节点计算如右图：

（2）前向传播

输入层到隐藏层的计算，即计算第一层输出y1,y2,y3

隐藏层到隐藏层的计算，即计算第2层输出y4,y5。

隐藏层到输出层，即计算输出y

（3）反向传播

反向传播，根据网络的连接路径，从输出层反向把误差项前向传递，并更新权重和偏置参数的过程。

误差项计算：将网络输出信号y与训练数据集的输出值z（期望值）进行比较，得到的差异被称为输出层神经元的误差信号d（不是均方误差，是计算梯度的某一项）。

内部神经元的误差项的计算，有2种情况：

<1>误差权重：即前向传播的权重；

<2>如果传播的误差来自多个关联神经元，它们将被叠加。

（4）权重更新

权重更新，根据网络的连接路径，从输出层反向把误差反向传递并更新权重和偏置的过程。

权重更新公式：

（5）总结

来源：http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap2.html

1.5 多层感知器 -- 异或门例子

异或门数据集定义：

import numpy as npdef get_xy_data():""" XOR的训练集 -- 真值表 """x = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])y = np.array([0, 1, 1, 0])return x,y

多层感知器模型定义：

import numpy as np""" 定义感知器模型结构 """
class XORGateModel():def __init__(self):""" 初始化权重、偏置 """self.w = np.random.normal(size=6).reshape((3, 2))   # 权重self.b = np.random.normal(size=3)                   # 偏置self.lr = 0.1                                       # 学习率(超参数)def sigmoid(self, x):return 1/(1 + np.exp(-x))def dsigmoid(self, x):y = self.sigmoid(x)return y * (1 - y)def forward(self, x):""" 前向计算 """y1 = self.sigmoid((x[0]*self.w[0][0]) + (x[1]*self.w[0][1]) + self.b[0])y2 = self.sigmoid((x[0]*self.w[1][0]) + (x[1]*self.w[1][1]) + self.b[1])y3 = self.sigmoid((y1*self.w[2][0]) + (y2*self.w[2][1]) + self.b[2])return y3def update_weight(self, x, n, d):e = (x[0] * self.w[n][0]) + (x[1] * self.w[n][1]) + self.b[n]self.w[n][0] = self.w[n][0] + (self.lr * d * self.dsigmoid(e) * x[0])self.w[n][1] = self.w[n][1] + (self.lr * d * self.dsigmoid(e) * x[1])self.b[n]    = self.b[n]    + (self.lr * d * self.dsigmoid(e))def train(self, X, Y):"""X,Y -- 训练集"""for i in range(100000):   # 迭代j = 0C = 0for xi in X:yi = self.forward(xi)               # 前向计算Ci = np.power((Y[j] - yi), 2) / 2   # 计算误差C += Ci# 更新权重跟偏置if Ci > 0:d = Y[j] - yid1 = self.w[2][0] * dd2 = self.w[2][1] * dself.update_weight(xi, 0, d1)   # 节点1self.update_weight(xi, 1, d2)   # 节点2self.update_weight(xi, 2, d)    # 节点3j += 1print("epoch{} 误差:{}, 权重:{}".format(i, C, self.w))# 什么时候退出?if C <= 0.05:print("=== 与门的4数据都正确了, 退出迭代")break

训练并保存参数：

# 训练import data_managerX, Y = data_manager.get_xy_data()  # 读取数据集model = XORGateModel()            # 实例化类对象model.train(X, Y)               # 执行训练# 验证训练结果是否正确for xi in X:print("验证  输入:{}   模型的前向计算结果:{}".format(xi, model.forward(xi)))# 保存模型参数np.savez("./params", model.w, model.b)

读取参数并预测：

import numpy as npif __name__ == "__main__":# 加载参数r = np.load("./params.npz")print("权重", r["arr_0"])print("偏置", r["arr_1"])# 设置参数到网络结构import modeland_model = model.AndGateModel()and_model.w = r["arr_0"]and_model.b = r["arr_1"]# 预测X = [[0,0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]for xi in X:print("预测  输入:{}  结果:{}".format(xi, and_model.forward(xi)))

代码地址：https://download.csdn.net/download/qq_21386397/87567645

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