本文主要介绍Fibonacci sequence（斐波那契数列）的相关知识，同时通过示例代码介绍相关问题的解决方法。

1 概述

Fibonacci sequence, the sequence of numbers 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, each of which, after the second, is the sum of the two previous numbers; that is, the nth Fibonacci number F(n) = F(n − 1) + F(n − 2).

The sequence was noted by the medieval Italian mathematician Fibonacci (Leonardo Pisano) in his Liber abaci.

2 相关问题

2.1 Fibonacci Number

题目描述：

已知有一个Fibonacci sequence，给定n作为数列的位置，求该位置的数值。

此题通常有三种解法，分别为：递归法、数组法（内存法）及平推法（循环法）。

下面分别给出这三种解法的示例代码。

2.1.1 递归法

使用递归法解决Fibonacci Number问题的示例代码如下：

class Solution {
public:// calculate the value with recursionint fib(int n) {if (0 == n || 1 == n) {return n;}return fib(n - 1) + fib(n - 2);}
};

递归法对应的时间复杂度为：O(2^n)，空间复杂度为：O(n)。

2.1.2 数组法（内存法）

使用数组法解决Fibonacci Number问题的示例代码如下：

class Solution {
public:// dynamic programming approachint fib(int n) {if (n < 2) {return n;}int mem[n + 1];mem[0] = 0;mem[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {mem[i] = mem[i - 1] + mem[i - 2];}return mem[n];}
};

数组法对应的时间复杂度为：O(n)，空间复杂度为：O(n)。

2.1.3 平推法（循环法）

使用平推法解决Fibonacci Number问题的示例代码如下：

class Solution {
public:// with imperative approachint fib(int n) {if (n < 2) {return n;}int prevprev = 0;int prev = 1;int cur = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {cur = prevprev + prev;prevprev = prev;prev = cur;}return cur;}
};

平推法对应的时间复杂度为：O(n)，空间复杂度为：O(1)。

2.2 Climbing Stairs

题目描述：

You are climbing a staircase. It takes n steps to reach the top.
Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

分析思路：此题本质上就是Fibonacci sequence问题。对于第n个台阶，之前的情况只有两种可能：在n-1个台阶跨1步上去；或在n-2个台阶跨2步上去（因为根据题干，我们一步只能跨1个或2个台阶，这点至关重要！）。因此，达到第n个台阶的方法数量就满足Fibonacci sequence了：F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)。当然，这里n必须要大于2，因为台阶数为0是没有意义的。

有了上述分析思路，就可以参考2.1节Fibonacci Number问题的解法来解答此问题了（但需注意n需大于2）。

这里给出平推法的示例代码：

class Solution {
public:// with imperative approachint climbStairs(int n) {if (n < 3) {return n;}int prevprev = 1;int prev = 2;int cur = 0;for (int i = 2; i < n; i++) {cur = prevprev + prev;prevprev = prev;prev = cur;}return cur;}
};

从上述代码可以看到，我们是基于n大于2来计算Fibonacci sequence的数值的，而2.1.3节中的平推法是基于n大于1来计算的。