差分与差分方程

差分与差分方程的基本概念

差分：设函数 y(t)y(t)y(t) 的定义域为非负整数集 NNN ，用 yty_{t}yt 代替 y(t)y(t)y(t) 记号，yty_{t}yt 在 ttt 处的差分为：

一阶差分： Δyt=yt+1−yt\Delta y_{t}=y_{{t+1}}-y_{t}Δyt=yt+1−yt
二阶差分：Δ2yt=Δ(Δyt)=(yt+2−yt+1)−(yt1)=yt+2−2yt+1+yt\Delta^{2} y_{t}=\Delta(\Delta y_{t})=(y_{t+2}-y_{t+1})-(y_{t_{1}})=y_{t+2}-2y_{t+1}+y_{t}Δ2yt=Δ(Δyt)=(yt+2−yt+1)−(yt1)=yt+2−2yt+1+yt
nnn 阶差分：Δnyt=∑i=0n(−1)Cniyt+n−i\Delta^{n}y_{t}=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)C_{n}^iy_{t+n-i}Δnyt=i=0∑n(−1)Cniyt+n−i

差分的四则运算：和微分的运算类似：

Δ(cyt)=cΔyt\Delta(cy_{t})=c\Delta y_{t}Δ(cyt)=cΔyt
Δ(yt±zt)=Δyt±Δzt\Delta(y_{t}\pm z_{t})=\Delta y_{t} \pm \Delta z_{t}Δ(yt±zt)=Δyt±Δzt
Δ(yt⋅zt)=zt+1Δyt+ytΔzt\Delta(y_{t}\cdot z_{t})=z_{{t+1}}\Delta y_{t}+y_{t}\Delta z_{t}Δ(yt⋅zt)=zt+1Δyt+ytΔzt 或者 =yt+1Δzt+ztΔyt=y_{{t+1}}\Delta z_{t}+z_{t}\Delta y_{t}=yt+1Δzt+ztΔyt
Δ(ytzt)=ztΔyt−ytΔztzt+1zt\Delta(\frac{y_{t}}{z_{t}})=\frac{z_{t}\Delta y_{t}-y_{t}\Delta z_{t}}{z_{t+1}z_{t}}Δ(ztyt)=zt+1ztztΔyt−ytΔzt 或者 =zt+1Δyt−yt+1Δztzt+1zt=\frac{z_{t+1} \Delta y_{t}-y_{t+1} \Delta z_{t}}{z_{t+1}z_{t}}=zt+1ztzt+1Δyt−yt+1Δzt
常数的差分是 000
Δn+1Pn(x)=0\Delta^{n+1}P_{n}(x)=0Δn+1Pn(x)=0 ，其中 Pn(x)P_{n}(x)Pn(x) 为某一 nnn 次多项式

差分方程：设 yty_{t}yt 为未知函数，则下列两类方程都称为差分方程：

H(t,yt,Δyt,⋯,Δnyt)=0H(t,\,y_{t},\,\Delta y_{t},\,\cdots,\,\Delta^{n}y_{t})=0H(t,yt,Δyt,⋯,Δnyt)=0
F(t,yt,yt+1,⋯,yt+n)=0F(t,\,y_{t},\,y_{t+1},\,\cdots,\,y_{t+n})=0F(t,yt,yt+1,⋯,yt+n)=0

一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程 ：同样的，根据自由项是否为 0 ，分为：

齐次：yt+1+pyt=0y_{t+1}+py_{t}=0yt+1+pyt=0
非齐次：yt+1+pyt=f(t)y_{t+1}+py_{t}=f(t)yt+1+pyt=f(t)

① f(t)=0f(t)=0f(t)=0：即一阶常系数齐次线性差分方程，其特征方程为：
λt+1+pλt=0⇒λ−p=0⇒λ=−p\lambda^{t+1}+p\lambda^t=0 \Rightarrow \lambda-p=0 \Rightarrow \lambda=-p λt+1+pλt=0⇒λ−p=0⇒λ=−p
显然这是一个等比数列，可以得到 yt=(−p)ty_t=(-p)^tyt=(−p)t 是满足条件的，因此通解为：
yt=c(−p)ty_t=c(-p)^t yt=c(−p)t
② f(t)=Pm(t)f(t)=P_m(t)f(t)=Pm(t) ：即自由项是一个 mmm 次的多项式，此时要讨论求 yt+1+pyt=Pm(t)y_{t+1}+py_t=P_m(t)yt+1+pyt=Pm(t) 的解。令 yt+1=yt+Δyty_{t+1}=y_t+\Delta y_tyt+1=yt+Δyt ，则：
Δyt+(p+1)yt=Pm(t)\Delta y_t + (p+1)y_t = P_m(t) Δyt+(p+1)yt=Pm(t)
若 yty_tyt 是一个 mmm 次的多项式，则 Δyt\Delta y_tΔyt 则是一个 m−1m-1m−1 次的多项式，参考微分方程的经验，我们可以假设特解形如 y∗=tkQm(t)y^*=t^kQ_m(t)y∗=tkQm(t) ，其中：
k={0当−p≠1，即1不是特征根时1当−p=1，即1是特征根时k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当 -p\not=1，即 1不是特征根时 \\ 1 & 当 -p=1，即 1是特征根时 \\ \end{array} \right. k={01当−p=1，即1不是特征根时当−p=1，即1是特征根时
代入原方程以后，逐一比较 Qm(t)Q_m(t)Qm(t) 的系数，就可以得到一个特解。

例：求方程 2yt+1+yt=t22y_{t+1}+y_t=t^22yt+1+yt=t2 的通解

将方程改写为 yt+1+12yt=12t2y_{t+1}+\frac{1}{2}y_t=\frac{1}{2}t^2yt+1+21yt=21t2 ，可以得到特征根为 λ=−12\lambda=-\frac{1}{2}λ=−21 ，故对应的齐次方程的通解为：
Y=c(−12)tY=c(-\frac{1}{2})^t Y=c(−21)t
假设其中一个特解形如 y∗=At2+Bt+Cy^*=At^2+Bt+Cy∗=At2+Bt+C ，代入原方程得到：
3At2+(4A+3B)t+2A+2B+3C=t23At^2+(4A+3B)t+2A+2B+3C=t^2 3At2+(4A+3B)t+2A+2B+3C=t2
解得 A=13A=\frac{1}{3}A=31 ，B=−49B=-\frac{4}{9}B=−94 ，C=227C=\frac{2}{27}C=272 ，因此特解为 y∗=13t2−49t+227y^*=\frac{1}{3}t^2-\frac{4}{9}t+\frac{2}{27}y∗=31t2−94t+272 ，原方程的通解为：
yt=Y+y∗=c(−12)t+13t2−49t+227y_t=Y+y^*=c(-\frac{1}{2})^t+\frac{1}{3}t^2-\frac{4}{9}t+\frac{2}{27} yt=Y+y∗=c(−21)t+31t2−94t+272
③ f(t)=Pm(t)atf(t)=P_m(t)a^tf(t)=Pm(t)at ，其中 a≠0,1a\not=0,\,1a=0,1 ，此时要讨论求 yt+1+pyt=Pm(t)aty_{t+1}+py_t=P_m(t)a^tyt+1+pyt=Pm(t)at 的解，可设特解为 y∗=tkQm(t)aty^*=t^kQ_m(t)a^ty∗=tkQm(t)at ，其中：
k={0当−p≠a，即a不是特征根时1当−p=a，即a是特征根时k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当 -p\not=a，即a不是特征根时 \\ 1 & 当 -p=a，即a是特征根时 \\ \end{array} \right. k={01当−p=a，即a不是特征根时当−p=a，即a是特征根时
例：求差分方程 yt+1+yt=tety_{t+1}+y_t=te^tyt+1+yt=tet 的通解

特征方程 λ+1=0\lambda+1=0λ+1=0 ，得到特征根 λ=−1\lambda=-1λ=−1 ，对应的齐次方程的通解为：
Y=c(−1)tY=c(-1)^t Y=c(−1)t
假设特解为 y∗=(At+B)ety^*=(At+B)e^ty∗=(At+B)et ，代入原方程得到：
A(e+1)tet+(Ae+Be+B)et=tetA(e+1)te^t+(Ae+Be+B)e^t=te^t A(e+1)tet+(Ae+Be+B)et=tet
解得 A=1e+1A=\frac{1}{e+1}A=e+11 ，B=−e(e+1)2B=-\frac{e}{(e+1)^2}B=−(e+1)2e ，因此特解为 y∗=(1e+1t−e(e+1)2)ety^*=(\frac{1}{e+1}t-\frac{e}{(e+1)^2})e^ty∗=(e+11t−(e+1)2e)et ，原方程的通解为：
yt=Y+y∗=c(−1)2+(1e+1t−e(e+1)2)ety_t=Y+y^*=c(-1)^2+(\frac{1}{e+1}t-\frac{e}{(e+1)^2})e^t yt=Y+y∗=c(−1)2+(e+11t−(e+1)2e)et

二阶常系数线性差分方程

二阶常系数线性差分方程 ：同样的，根据自由项是否为 0 ，分为：

齐次： yt+2+pyt+1+qyt=0y_{t+2}+py_{t+1}+qy_t=0yt+2+pyt+1+qyt=0
非齐次：yt+2+pyt+1+qyt=f(t)y_{t+2}+py_{t+1}+qy_t=f(t)yt+2+pyt+1+qyt=f(t)

① f(t)=0f(t)=0f(t)=0 ，即二阶常系数齐次线性差分方程，特征方程为：
λ2+pλ+q=0\lambda^2+p\lambda+q=0 λ2+pλ+q=0
(1) 若存在两个不相等的实根 λ1\lambda_1λ1 和λ2\lambda_2λ2 ，那么此时通解为：
yt=c1λ1t+c2λ2ty_t=c_1\lambda_1^t+c_2\lambda_2^t yt=c1λ1t+c2λ2t
(2) 若存在两个相同的实根 λ1=λ2\lambda_1=\lambda_2λ1=λ2 ，那么此时通解为：
yt=(c1+c2t)λty_t=(c_1+c_2t)\lambda^t yt=(c1+c2t)λt
(3) 若存在两个复根 λ=α±βi\lambda=\alpha\pm\beta iλ=α±βi ，我们转换为三角函数的形式：
α±βi=rcos⁡θ±irsin⁡θr=α2+β2,cos⁡θ=αr,sin⁡θ=βr\alpha\pm\beta i=r\cos\theta\pm ir\sin\theta \\ r=\sqrt{\alpha^2+\beta^2},\,\,\cos\theta=\frac{\alpha}{r},\,\,\sin\theta=\frac{\beta}{r} α±βi=rcosθ±irsinθr=α2+β2,cosθ=rα,sinθ=rβ
由 de Moivre 公式得，两个特解为：
(α±βi)t=(rcos⁡θ±irsin⁡θ)t=rtcos⁡tθ±irtsin⁡tθ(\alpha\pm\beta i)^t=(r\cos\theta\pm ir\sin\theta)^t=r^t\cos t\theta\pm ir^t\sin t\theta (α±βi)t=(rcosθ±irsinθ)t=rtcostθ±irtsintθ
此时通解为：
yt=(c1cos⁡tθ+c2sin⁡tθ)rtr=α2+β2,cos⁡θ=αr,sin⁡θ=βry_t=(c_1\cos t\theta+c_2\sin t\theta)r^t \\ r=\sqrt{\alpha^2+\beta^2},\,\,\cos\theta=\frac{\alpha}{r},\,\,\sin\theta=\frac{\beta}{r} yt=(c1costθ+c2sintθ)rtr=α2+β2,cosθ=rα,sinθ=rβ
总结：
特征方程λ2+pλ+q=0的根差分方程yt+2+pyt+1+qyt=0的通解不相等的实根λ1≠λ2yt=c1λ1t+c2λ2t相等的实根λ1=λ2yt=(c1+c2t)λt一对共轭复根λ1,2=α±iβ,β>0yt=(c1cos⁡tθ+c2sin⁡tθ)rtr=α2+β2,cos⁡θ=αr,sin⁡θ=βr\begin{array}{l|l} \hline 特征方程\,\lambda^2+p\lambda+q=0\,的根 & 差分方程\, y_{t+2}+py_{t+1}+qy_t=0\, 的通解 \\ \hline 不相等的实根\,\lambda_1\not=\lambda_2 & y_t=c_1\lambda_1^t+c_2\lambda_2^t \\ 相等的实根\,\lambda_1=\lambda_2 & y_t=(c_1+c_2t)\lambda^t \\ 一对共轭复根 \lambda_{1,\,2}=\alpha\pm i\beta,\,\beta\gt 0 & \begin{array}{l} y_t=(c_1\cos t\theta+c_2\sin t\theta)r^t \\ r=\sqrt{\alpha^2+\beta^2},\,\,\cos\theta=\frac{\alpha}{r},\,\,\sin\theta=\frac{\beta}{r} \end{array} \\ \hline \end{array} 特征方程λ2+pλ+q=0的根不相等的实根λ1=λ2相等的实根λ1=λ2一对共轭复根λ1,2=α±iβ,β>0差分方程yt+2+pyt+1+qyt=0的通解yt=c1λ1t+c2λ2tyt=(c1+c2t)λtyt=(c1costθ+c2sintθ)rtr=α2+β2,cosθ=rα,sinθ=rβ
例：求 yt+2+yt+1+yt=0y_{t+2}+y_{t+1}+y_t=0yt+2+yt+1+yt=0 的通解

特征方程 λ2+λ+1=0\lambda^2+\lambda+1=0λ2+λ+1=0 ，解得特征根 λ=−12±32i\lambda=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}iλ=−21±23i ；此时可知 r=1r=1r=1 ，θ=23π\theta=\frac{2}{3}\piθ=32π ，故通解为：
yt=c1cos⁡23πt+c2sin⁡23πty_t=c_1\cos\frac{2}{3}\pi t+c_2\sin\frac{2}{3}\pi t yt=c1cos32πt+c2sin32πt
② f(t)=Pm(t)f(t)=P_m(t)f(t)=Pm(t) ：即自由项是一个 mmm 次的多项式，此时可设特解为 y∗=tkQm(t)y^*=t^kQ_m(t)y∗=tkQm(t) ，其中：
k={0当1+p+q≠0,即1不是特征根时1当1+p+q=0而2+p≠0,即1是单重特征根时2当1+p+q=0且2+p=0,即1是双重特征根时k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当\,1+p+q\not=0,\,即\,1\,不是特征根时 \\ 1 & 当\,1+p+q=0\,而\,2+p\not=0,\,即\,1\,是单重特征根时 \\ 2 & 当\,1+p+q=0\,且\,2+p=0,\,即\,1\,是双重特征根时 \\ \end{array} \right. k=⎩⎨⎧012当1+p+q=0,即1不是特征根时当1+p+q=0而2+p=0,即1是单重特征根时当1+p+q=0且2+p=0,即1是双重特征根时
例：求 yt+2+2yt+1−3yt=ty_{t+2}+2y_{t+1}-3y_{t}=tyt+2+2yt+1−3yt=t 的通解

特征方程 λ2+2λ−3=0\lambda^2+2\lambda-3=0λ2+2λ−3=0 ，解得 λ1=1\lambda_1=1λ1=1 ，λ2=−3\lambda_2=-3λ2=−3 ，因此对应的齐次方程的通解为：
Y=c1+c2(−3)tY=c_1+c_2(-3)^t Y=c1+c2(−3)t
设特解为 y∗=t(At+B)y^*=t(At+B)y∗=t(At+B) ，代入得到：
8At+6A+4B=t⇒A=18,B=−3168At+6A+4B=t\Rightarrow A=\frac{1}{8},\,B=-\frac{3}{16} 8At+6A+4B=t⇒A=81,B=−163
因此特解为 y∗=t(18t−316)y^*=t(\frac{1}{8}t-\frac{3}{16})y∗=t(81t−163) ，原方程的通解为：
yt=Y+y∗=c1+c2(−3)t+t(18t−316)y_t=Y+y^*=c_1+c_2(-3)^t+t(\frac{1}{8}t-\frac{3}{16}) yt=Y+y∗=c1+c2(−3)t+t(81t−163)
③ f(t)=Pm(t)atf(t)=P_m(t)a^tf(t)=Pm(t)at ，其中 a≠0,1a\not=0,\,1a=0,1 ，可设特解为 y∗=tkQm(t)aty^*=t^kQ_m(t)a^ty∗=tkQm(t)at ，其中：
k={0当a2+pa+q≠0,即a不是特征根时1当a2+pa+q=0而2a+p≠0,即a是单重特征根时2当a2+pa+q=0且2a+p=0,即a是双重特征根时k=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & 当\,a^2+pa+q\not=0,\,即\,a\,不是特征根时 \\ 1 & 当\,a^2+pa+q=0\,而\,2a+p\not=0,\,即\,a\,是单重特征根时 \\ 2 & 当\,a^2+pa+q=0\,且\,2a+p=0,\,即\,a\,是双重特征根时 \\ \end{array} \right. k=⎩⎨⎧012当a2+pa+q=0,即a不是特征根时当a2+pa+q=0而2a+p=0,即a是单重特征根时当a2+pa+q=0且2a+p=0,即a是双重特征根时
例：求 yt+2−3yt+1+2yt=2+t3ty_{t+2}-3y_{t+1}+2y_{t}=2+t3^tyt+2−3yt+1+2yt=2+t3t 的特解

要把这个方程看成三部分，分别对应上边的 ①、② 和 ③：
{yt+2−3yt+1+2yt=0→Yyt+2−3yt+1+2yt=2→y∗(1)yt+2−3yt+1+2yt=t3t→y∗(2)\left\{\begin{array}{l} y_{t+2}-3y_{t+1}+2y_{t}=0 \to Y \\ y_{t+2}-3y_{t+1}+2y_{t}=2 \to y^{*(1)} \\ y_{t+2}-3y_{t+1}+2y_{t}=t3^t \to y^{*(2)} \\ \end{array}\right. ⎩⎨⎧yt+2−3yt+1+2yt=0→Yyt+2−3yt+1+2yt=2→y∗(1)yt+2−3yt+1+2yt=t3t→y∗(2)
方程一：特征方程为 λ2−3λ+2=0\lambda^2-3\lambda+2=0λ2−3λ+2=0 ，解得 λ1=1\lambda_1=1λ1=1 ，λ2=2\lambda_2=2λ2=2 ，因此对应的齐次方程的通解为：
Y=c1+c22tY=c_1+c_22^t Y=c1+c22t
方程二：设特解 y∗(1)=Aty^{*(1)}=Aty∗(1)=At ，代入得到：
−A=2⇒A=−2⇒y∗(1)=−2t-A=2\Rightarrow A=-2 \Rightarrow y^{*(1)}=-2t −A=2⇒A=−2⇒y∗(1)=−2t
方程三：设特解 y∗(2)=(Bt+C)3ty^{*(2)}=(Bt+C)3^ty∗(2)=(Bt+C)3t ，代入得到：
(2Bt+9B+2C)3t=t3t⇒B=12,C=−94⇒y∗(2)=(12t−94)3t(2Bt+9B+2C)3^t=t3^t \Rightarrow B=\frac{1}{2},\,C=-\frac{9}{4} \Rightarrow y^{*(2)}=(\frac{1}{2}t-\frac{9}{4})3^t (2Bt+9B+2C)3t=t3t⇒B=21,C=−49⇒y∗(2)=(21t−49)3t
因此，原方程的通解为：
yt=Y+y∗(1)+y∗(2)=c1+c22t−2t+(12t−94)3ty_t=Y+y^{*(1)}+y^{*(2)}=c_1+c_22^t-2t+(\frac{1}{2}t-\frac{9}{4})3^t yt=Y+y∗(1)+y∗(2)=c1+c22t−2t+(21t−49)3t

词库加载错误:未能找到文件“E:\highferrum_mysql\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。

上一篇：【Shell】测试脚本

下一篇：自训练和协同训练简述

常微分方程-差分方程

文章目录

差分与差分方程