文章目录

• 质数
  • 试除法判定质数
  • 试除法分解质因数
  • 朴素筛法求质数
  • 埃氏筛法求质数
  • 线性筛法求质数
• 约数
  • 试除法求所有约数
  • 试除法求所有约数之和
  • 约数个数和约数之和
  • 欧几里得算法

一、质数

1.试除法判定质数--O(sqrt(N))

原理：把从[2,n-1]中的每一个自然数作为除数来除n，如果n不能被其中的任意一个数整除，那么n就是素数。

优化：由于一个数的约数都是成对出现的。所以只需要枚举[2,sqrt(n)];

bool is_prime(int x)
{if (x < 2) return false;for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0)return false;return true;
}

2.试除法分解质因数--O(logN)~O(sqrt(N))

原理：从[2,sqrt(n)]中枚举所有的质数，如果找到某一个素数i，则需要将n连续除以i得到m个i，然后将n中去除m个i的数，继续操作，如果最后一个数大于1，则得到最后一个质因子。

void divide(int x)
{for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){int s = 0;while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;cout << i << ' ' << s << endl;}if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;cout << endl;
}

3.朴素筛法求质数--O(NlogN)

原理：对于n个数，从2开始枚举，依次将其倍数删去，如果枚举到该数仍存在则该数一定为质数，因为例如一个数p，枚举到它时还存在，说明它不是2~p-1中任何数的倍数，即该数为质数。

int primes[N],cnt;
bool st[N];筛选出所有数的倍数
void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i++){if (st[i]) continue;primes[cnt++] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;//筛选出i的倍数}
}

4.埃氏筛法求质数--O(loglogN)

埃及筛法就是在朴素筛法的基础上，我们只用将质数的倍数删掉即可，因为一个合数可以写成几个质数的积，那么我们将所有质数的倍数删掉时，所有合数也被删掉了，这样可以将时间复杂度优化到O(nloglogn)，可粗略看作O(n)。

优化：通过只筛选质数的倍数即可。

int primes[N],cnt;
bool st[N];void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i++){if (!st[i]){primes[cnt++] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i)st[j] = true;}}
}

5.线性筛法求质数

对于某一个合数n，其只会被自己的最小质因子给筛掉。

int primes[N],cnt;
bool st[N];void get_primes(int n) {for(int i = 2; i <= n; i++) {if(!st[i]) primes[ctn++] = i;for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {st[primes[j] * i] = true;// 当下面的if条件成立时, primes[j]一定是i的最小质因子if(i % primes[j] == 0) break;}}
}

二、约数

1.试除法求所有约数--O(sqrt(N))

原理：假设p是x的一个约数，那么x/p一定也是它的约数，所以只需枚举2 到 sqrt(n)的约数，并且可以直接通过运算获得sqrt(n) 之后对应的那个约数。        

vector get_divisors(int x)
{vector res;for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){res.push_back(i);if (i != x / i) res.push_back(x / i);}sort(res.begin(), res.end());return res;
}

2.试除法求所有约数之和

vector get_divisors(int x)
{vector res;for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){res.push_back(i);if (i != x / i) res.push_back(x / i);}sort(res.begin(), res.end());return res;
}

3.约数个数和约数之和

unordered_map primes;//求约数个数
void get_divisors_numbers(int x)
{    for(int i=2;i<=x/i;i++)while (x % i == 0){x /= i;primes[i]++;}if (x > 1) primes[x]++;LL res = 1;for (auto prime : primes) res = res * (prime.second + 1)%mod;cout << res << endl;
}

unordered_map primes;//求约数之和
void get_divisors_sumNumbers(int x)
{    for(int i=2;i<=x/i;i++)while (x % i == 0){x /= i;primes[i]++;}if (x > 1) primes[x]++;LL res = 1;for (auto prime : primes) {int p = prime.first, a = prime.second;LL t = 1;while (a--) t = (t * p + 1) % mod;res = res * t % mod;}cout << res << endl;
}

4.欧几里得算法

原理：辗转相除法原理是设两数为a、b(a>b)，用gcd(a，b)表示a， b的最大公约数，r=a(mod b)为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.....r。辗转相除法即是要证明gcd(a，b)=gcd(b， r)。辗转相除法，又名欧几里德算法。

int gcd(int a, int b)
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}