1 方向导数（二元为例）

Σ：z=f(x,y)，(x,y)∈D，M0(x0,y0)∈DΣ：z=f(x,y)，(x,y)∈D，M_0(x_0,y_0)∈DΣ：z=f(x,y)，(x,y)∈D，M0​(x0​,y0​)∈D

在xoyxoyxoy面内从M0M_0M0​作射线 lll ，取M(x0+△x,y+△y)∈lM(x_0+△x,y+△y)∈lM(x0​+△x,y+△y)∈l

△z=f(x0+△x,y0+△y)−f(x0,y0)△z=f(x_0+△x,y_0+△y)-f(x_0,y_0)△z=f(x0​+△x,y0​+△y)−f(x0​,y0​)

ρ=∣M0M∣=(△x)2+(△y)2ρ=|M_0M|=\sqrt[]{(△x)^2+(△y)^2}ρ=∣M0​M∣=(△x)2+(△y)2​

如果 limρ→0△zρ\underset{ρ→0}{lim}\frac{△z}{ρ}ρ→0lim​ρ△z​存在，称此极限为z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在M0M_0M0​处沿射线lll的方向导数，记作 ∂z∂l∣M0\frac{∂z}{∂l}|_{M_0}∂l∂z​∣M0​​，

即∂z∂l∣M0≜limρ→0△zρ\frac{∂z}{∂l}|_{M_0}\triangleq\underset{ρ→0}{lim}\frac{△z}{ρ}∂l∂z​∣M0​​≜ρ→0lim​ρ△z​

计算

z=f(x,y)，M0(x0,y0)z=f(x,y)，M_0(x_0,y_0)z=f(x,y)，M0​(x0​,y0​)，射线 lll的方向余弦cosα，cosβcosα，cosβcosα，cosβ

f(x,y)f(x,y)f(x,y)连续可偏导

△zρ=f(x0+△x,y0+△y)−f(x0,y0+△y)ρ+f(x0,y0+△y)−f(x0,y0)ρ\frac{△z}{ρ}=\frac{f(x_0+△x,y_0+△y)-f(x_0,y_0+△y)}{ρ}+\frac{f(x_0,y_0+△y)-f(x_0,y_0)}{ρ}ρ△z​=ρf(x0​+△x,y0​+△y)−f(x0​,y0​+△y)​+ρf(x0​,y0​+△y)−f(x0​,y0​)​

=fx(ξ,y0+△y)△xρ+f(x0,y0+△y)−f(x0,y0)△y⋅△yρf_x(ξ,y_0+△y)\frac{△x}{ρ}+\frac{f(x_0,y_0+△y)-f(x_0,y_0)}{△y}·\frac{△y}{ρ}fx​(ξ,y0​+△y)ρ△x​+△yf(x0​,y0​+△y)−f(x0​,y0​)​⋅ρ△y​ （ξ介于$$）

∵ fx(x,y)，fy(x,y)f_x(x,y)，f_y(x,y)fx​(x,y)，fy​(x,y)连续

∴∂z∂l∣M0=limρ→0fx(ξ,y0+△y)△xρ+limρ→0f(x0,y0+△y)−f(x0,y0)△y⋅△yρ\frac{∂z}{∂l}|_{M_0}= \underset{ρ→0}{lim}f_x(ξ,y_0+△y)\frac{△x}{ρ}+\underset{ρ→0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+△y)-f(x_0,y_0)}{△y}·\frac{△y}{ρ}∂l∂z​∣M0​​=ρ→0lim​fx​(ξ,y0​+△y)ρ△x​+ρ→0lim​△yf(x0​,y0​+△y)−f(x0​,y0​)​⋅ρ△y​

=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβf_x(x_0,y_0)cosα+f_y(x_0,y_0)cosβfx​(x0​,y0​)cosα+fy​(x0​,y0​)cosβ

即∂z∂l∣M0=∂z∂x∣M0cosα+∂z∂y∣M0cosβ\frac{∂z}{∂l}|_{M_0}=\frac{∂z}{∂x}|_{M_0}cosα+\frac{∂z}{∂y}|_{M_0}cosβ∂l∂z​∣M0​​=∂x∂z​∣M0​​cosα+∂y∂z​∣M0​​cosβ

2 梯度（三元为例）

u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)