文章目录

• 1 概述
• 2 测试数据

1 概述

本节展示系数域如何影响H1H_1H1​同伦。这个例子，与总是使用Z/2\mathbb{Z}/2Z/2（二进制）系数的常见约定相反，可能有充分的理由使用其他字段，尤其是在有扭曲的情况下。

以下是一些必须库：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from ripser import ripser
from persim import plot_diagrams

2 测试数据

现在创建一个封闭环，可以理解为2D环嵌入到3D空间：

1. 围绕大圈每转一圈，让环围绕小圈（“内管”部分）运行两次；
2. 分别给定大圈和小圈的半径RRR和rrr，采样如下参数的曲线：

x(t)=(R+rcos⁡(2t))cos⁡(t)y(t)=(R+rcos⁡(2t))sin⁡(t)z(t=rsin⁡(2t))\begin{aligned} &x(t)=(R+r\cos(2t))\cos(t)\\ &y(t)=(R+r\cos(2t))\sin(t)\\ &z(t=r\sin(2t)) \end{aligned} ​x(t)=(R+rcos(2t))cos(t)y(t)=(R+rcos(2t))sin(t)z(t=rsin(2t))​代码如下：

# 步骤1：曲线设置
N = 100  # 采样点的数量
R = 4    # 大环半径
r = 1    # 小环半径
X = np.zeros((N, 3))
t = np.linspace(0, 2*np.pi, N)
X[:, 0] = (R + r*np.cos(2*t))*np.cos(t)
X[:, 1] = (R + r*np.cos(2*t))*np.sin(t)
X[:, 2] = r*np.sin(2*t)

接着绘制持续图和数据图：

尽管该环很弯曲，H1H_1H1​上只有一个类，且Z/2\mathbb{Z}/2Z/2和Z/3\mathbb{Z}/3Z/3的持续同伦图是一样，即只有一个类在0处初始。

对此，数据的生成公式修改为：
x(t)=(R+rcos⁡(t))cos⁡(2t)y(t)=(R+rcos⁡(t))sin⁡(2t)z(t=rsin⁡(2t))\begin{aligned} &x(t)=(R+r\cos(t))\cos(2t)\\ &y(t)=(R+r\cos(t))\sin(2t)\\ &z(t=r\sin(2t)) \end{aligned} ​x(t)=(R+rcos(t))cos(2t)y(t)=(R+rcos(t))sin(2t)z(t=rsin(2t))​代码如下：

X[:, 0] = (R + r*np.cos(t))*np.cos(2*t)
X[:, 1] = (R + r*np.cos(t))*np.sin(2*t)
X[:, 2] = r*np.sin(t)

输出如下：