CF1763D Valid Bitonic Permutations

题目大意

拱形排列，指由1,2,…,n1,2,\dots,n1,2,…,n组成的一个排列，从数值来看，必须是先上升后下降的。

给你五个数n,i,j,x,yn,i,j,x,yn,i,j,x,y，求有多少个排列，满足第iii个数为xxx，第jjj个数为yyy。输出答案模107910^9_71079​。

有多组数据。

1≤n≤1001\leq n\leq 1001≤n≤100，1≤t≤1001\leq t\leq 1001≤t≤100

题解

首先，我们要使i

• 如果i>ji>ji>j，则交换i,ji,ji,j，交换x,yx,yx,y
• 上面的操作进行后，如果x>yx>yx>y，则i=n−i+1i=n-i+1i=n−i+1，j=n−j+1j=n-j+1j=n−j+1，再交换i,ji,ji,j，交换x,yx,yx,y，相当于将序列前后翻转，这样求出的答案与原来的是等价的

令kkk表示数字nnn在序列中的位置，那么接下来，我们可以枚举kkk。

第一种情况：kkk在iii和jjj中间

如果kkk在iii和jjj之间，则序列大致如下

首先看第一段，y+1y+1y+1到n−1n-1n−1之间的数可以放在这一段中，要放j−k−1j-k-1j−k−1个数，那么有Cn−y+1j−k−1C_{n-y+1}^{j-k-1}Cn−y+1j−k−1​种放法。

然后放第二段，这里需要满足大于yyy的数都要放在第二段，否则这就不是拱形序列。这一段必须在nnn之前且是单调递增的一段。[i+1,j][i+1,j][i+1,j]这一段放了yyy到nnn之间的所有数，我们还要放大于xxx的数，那么还剩下的数字都在xxx和yyy之间，也就是还有y−x−1y-x-1y−x−1个数。[i+1,j][i+1,j][i+1,j]这一段要放j−ij-ij−i个数，已经放了n−y+1n-y+1n−y+1个，还要放j−i−(n−y+1)j-i-(n-y+1)j−i−(n−y+1)个数，那么第二段的放法有Cy−x−1j−i−(n−y+1)C_{y-x-1}^{j-i-(n-y+1)}Cy−x−1j−i−(n−y+1)​种。

对于第三段，111到x−1x-1x−1之间的数可以放在这一段中，要放i−1i-1i−1个数，那么放法有Cx−1i−1C_{x-1}^{i-1}Cx−1i−1​种。

剩下的都放第四段。

总共的放法数量为

∑k=i+1j−1Cn−y+1j−k−1×Cy−x−1j−i−(n−y+1)×Cx−1i−1\sum\limits_{k=i+1}^{j-1}C_{n-y+1}^{j-k-1}\times C_{y-x-1}^{j-i-(n-y+1)}\times C_{x-1}^{i-1}k=i+1∑j−1​Cn−y+1j−k−1​×Cy−x−1j−i−(n−y+1)​×Cx−1i−1​

第二种情况：kkk在jjj右边

如果kkk在jjj右边，则序列大致如下

首先看第一段，可以放n−y−1n-y-1n−y−1个数，要放k−j−1k-j-1k−j−1个数，放法有Cn−y−1k−j−1C_{n-y-1}^{k-j-1}Cn−y−1k−j−1​种

然后看第二段，可以放y−x−1y-x-1y−x−1个数，要放j−i−1j-i-1j−i−1个数，放法有Cy−x−1j−i−1C_{y-x-1}^{j-i-1}Cy−x−1j−i−1​种

再看第三段，可以放x−1x-1x−1个数，要放i−1i-1i−1个数，放法有Cx−1i−1C_{x-1}^{i-1}Cx−1i−1​种

剩下的都放第四段。

总共的放法数量为

∑k=j+1n−1Cn−y+1k−j−1×Cy−x−1j−i−1×Cx−1i−1\sum\limits_{k=j+1}^{n-1}C_{n-y+1}^{k-j-1}\times C_{y-x-1}^{j-i-1}\times C_{x-1}^{i-1}k=j+1∑n−1​Cn−y+1k−j−1​×Cy−x−1j−i−1​×Cx−1i−1​

上面两个式子之和就是答案。

一些特判

如果y==ny==ny==n，也就是说kkk的位置已经定了，那么就不能用上面的方法来计算答案了。

如果j==nj==nj==n，则不可能构成拱形序列，方案数为000。

否则在[i+1,j−1][i+1,j-1][i+1,j−1]之间有y−x−1y-x-1y−x−1个数可以放，要放j−i−1j-i-1j−i−1个数；在[1,i−1][1,i-1][1,i−1]之间有x−1x-1x−1个数可以放， 要放i−1i-1i−1个数。那么答案为Cy−x−1j−i−1×Cx−1i−1C_{y-x-1}^{j-i-1}\times C_{x-1}^{i-1}Cy−x−1j−i−1​×Cx−1i−1​。

在求CnmC_n^mCnm​时，如果n<0n<0n<0或m<0m<0m<0或n

时间复杂度为O(t×n)O(t\times n)O(t×n)。

code

#include
using namespace std;
const int N=1000;
long long ans,jc[1005],ny[1005];
long long mod=1000000007;
long long mi(long long t,long long v){if(!v) return 1;long long re=mi(t,v/2);re=re*re%mod;if(v&1) re=re*t%mod;return re;
}
long long C(int x,int y){if(x<0||y<0) return 0;if(xjc[0]=1;for(int i=1;i<=N;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;ny[N]=mi(jc[N],mod-2);for(int i=N-1;i>=0;i--) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mod;
}
int main()
{int T,n,i,j,x,y;init();scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d%d%d%d",&n,&i,&j,&x,&y);if(i>j){swap(i,j);swap(x,y);}if(x>y){i=n-i+1;j=n-j+1;swap(i,j);swap(x,y);}ans=0;if(y==n){ans=C(y-x-1,j-i-1)*C(x-1,i-1)%mod;if(j==n) ans=0;printf("%lld\n",ans);continue;}for(int k=i+1;k<=j-1;k++){ans=(ans+C(n-y-1,j-k-1)*C(y-x-1,j-i-(n-y+1))%mod*C(x-1,i-1)%mod)%mod;}for(int k=j+1;k<=n-1;k++){ans=(ans+C(n-y-1,k-j-1)*C(y-x-1,j-i-1)%mod*C(x-1,i-1)%mod)%mod;}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}