向心加速度的物理意义及线速度方向变化快慢

“向心加速度的物理意义是线速度方向变化快慢的程度”这一说法虽然在正规的教科书中从未见过，但在很多教辅资料中广为流传。向心加速度的物理意义到底是不是线速度方向变化快慢的程度？在此结合一些相关论文对这个问题加以解释供读者评鉴。

说到线速度方向变化快慢，在平面直角坐标系中，就是线速度方向与某一个确定方向间的夹角对时间 t 的导数。

速度可以分为与x轴平行的分量和与x轴垂直的分量，而速度的方向可以用它和x轴正方向间夹角的正切来表示。

两边对时间 t 求导，

得

这就是在直角坐标系中描述“速度方向变化快慢”的一般表达式。那么在匀速圆周运动中它又会是什么形式呢？我们看看下面的图。

设质点做半径为R 、圆心在原点O的匀速圆周运动（逆时针方向），则质点的位置坐标可表示为：

对上式求一阶导数得

再对上式求一阶导数得

将这两式代入上面第三式得

在匀速圆周运动当中，“线速度方向变化快慢”恰好等于半径转动的快慢即角速度，很显然 向心加速度的物理意义并不是线速度方向变化快慢的程度。

二

接下来的问题是：既然向心加速度的物理意义不是线速度方向变化快慢的程度，那它的物理意义到底是什么？回答这个问题前我们先分析一些常见的曲线运动，看看能不能在这些分析中得到什么启发。

在平抛运动中，速度的方向和大小都随时间而变化，其实这个运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。

在斜上抛运动中，同样速度的方向和大小都随时间而变化，其实这个运动也可以看成是沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合成。

在匀速圆周运动中，线速度的大小不随时间变化，而方向时刻在变化，按照上面的思路，其实这也是物体沿圆周切线方向的匀速直线运动和物体沿圆周法线方向“落向圆心”的匀加速直线运动合成的结果，那么后者的加速度又是如何呢？先看图。

由圆的知识和相似三角形的知识得

由初速度为零的匀加速直线运动的位移公式可知，物体沿法线方向“落向圆心”运动的加速度为：

这正是我们所讨论的向心加速度的表达式，也就是说， 物体做匀速圆周运动的向心加速度就是瞬时法线方向匀加速直线运动的加速度， 它表示的是物体沿法线“落向圆心”运动时速度大小变化快慢的程度，是向心力作用的结果。因此，向心加速度与直线运动中的加速度没有本质的区别，它们都是描述速度大小随时间变化快慢的物理量。

结论

1.在匀速圆周运动中，线速度方向变化快慢程度在数量上等于角速度而不等于向心加速度。

2.向心加速度的物理意义是某一瞬间物体沿法线“落向圆心”运动时速度大小变化快慢的程度。