如何判断一个数是有理数还是无理数无理数的定义_办公生活

admin

2023-06-09 22:07:47

现在好多教材都讲道“无限不循环小数即为无理数”这固然是正确的，但从便于理解的角度讲，还是把无理数说成是非比例数比较好，与之对应的就是有理数（比例数）。

这样一来符合数学史，二来也可以无形中解决好多困惑，这样就不必为判断一个比较大的分数化成小数之后循环节在哪里而发愁了，分数显然是有理数。

如何判断一个数是有理数还是无理数，把握以下几点就可以了。

1、开方开不尽的数。

2、特殊常数，如圆周率π，自然对数底e。

3、明显有规律但确实无限不循环的数比如0.101001000100001..........

如何证明一个数是有理数

通常的思路是反证法，请思考一个问题如何证明根号2＋根号3是无理数。

更深入的理解

那就是无理数填补了有理数的“空隙”。

一个无理数是数轴上真实存在并且固定的点，但是无法表示为两个整数的比值，也无法用有限的小数表示。

所谓的无限不循环小数，其实就是一组有限小数组成的基本列，例如 π＝{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...}，这个基本列的极限就是一个无理数，但是由于有理数集不完备，所以这个极限不在有理数集内。

与之相比是无限循环小数，例如 1＝{0, 0.9, 0.99, 0.999, ...}，它也是一个基本列，不过幸运的是，它的极限落在了有理数集内。

我们可以用有限代数式精确的表示一些无理数，例如 √2、³√7、(√5-1)/2。但不是所有的无理数都可以用有限的代数式表示，例如：e＝lim_{n→∞} (1＋1/n)^n＝1＋1/1！＋2/2！＋3/3！＋... 、π＝4(1-1/3＋1/5－1/7＋...)，这些无理数称为超越数。

无理数有理数循环小数代数式例数

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