现代统计学奠基人之一、英国统计学家费希尔(Fisher）曾把抽样分布、参书估计和假设检验看作统计推断的三大中心内容。

统计学中，需要研究统计量的性质，并评价一个统计推断的优良性，而这些取决于其抽样分布的性质，所以，抽样分布是统计学中的重要内容。

统计学中常见的抽样分布有4种：正态分布、卡方分布、t分布、F分布，后面三大分布都是在正态分布的基础上推导出来的。

正态分布

正态分布是最重要的一种分布，其分布曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形。

自然界中很多现象都是符合正态分布，比如：

• 人的身高，特别高和特别矮的人都是少数，中等身材的占大多数。
• 一个班的成绩，特别低和特别高的都是少数，处于中间状态的占大多数。

正态分布的概率密度函数为：

其中，μ为均值，σ为标准差。

当μ=0，σ=1时，相应的正态分布N(0,1)称为标准正态分布。

通过Python可以很容易地绘制出标准正态分布的分布曲线图。

from pylab import mplmpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 指定默认字体mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题import numpy as npfrom scipy import statsimport matplotlib.pyplot as pltmu=0sigma=1x=np.arange(-5,5,0.1)y=stats.norm.pdf(x,0,1)plt.plot(x,y)plt.title("正态分布曲线：$\mu$=%.1f,$\sigma^2$=%.1f" % (mu,sigma))plt.ylabel("概率密度",fOntsize=14)plt.show()

卡方分布

卡方分布由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，并由Hermert（赫尔默特）和Pearson（皮尔逊）分别于1875年和1900年推导出来。

设置自由度为5，通过Python绘制出卡方分布的分布曲线图。

from scipy.stats import chi2 # 卡方分布df = 5 # 自由度x = np.linspace(chi2.ppf(0.01, df), # 绘制概率密度图 chi2.ppf(0.99, df), 100)plt.plot(x, chi2.pdf(x, df), alpha=0.6, label='chi2 pdf')plt.title(u'自由度为5时的卡方分布曲线图',fOntsize=12)plt.show()

增大自由度到20，通过Python绘制出卡方分布的分布曲线图。

from scipy.stats import chi2 # 卡方分布df = 100 # 自由度x = np.linspace(chi2.ppf(0.01, df), # 绘制概率密度图 chi2.ppf(0.99, df), 100)plt.plot(x, chi2.pdf(x, df), alpha=0.6, label='chi2 pdf')plt.title(u'自由度为20时的卡方分布曲线图',fOntsize=12)plt.show()

从上面可以看出，当自由度不断增大时，卡方分布趋于正态分布。

t分布

t分布也称学生氏分布，由Gosset（戈赛特）于1908年以Student（学生）为笔名发表的论文中首次提出。

说明：据说当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作，不能以他本人的名义发表。

设置自由度为5，通过Python绘制出t分布的分布曲线图。

from scipy.stats import tdf = 5x = np.linspace(t.ppf(0.01, df), t.ppf(0.99, df), 100)plt.plot(x, t.pdf(x, df), alpha=0.6,label="t分布")plt.title('自由度为5时的t分布曲线图', fOntsize=12)mu=0sigma=1x=np.arange(-5,5,0.1)y=stats.norm.pdf(x,0,1)plt.plot(x,y,label="正态分布")plt.legend(loc="best")plt.show()

增大自由度到15，通过Python绘制出t分布的分布曲线图。

from scipy.stats import tdf = 15x = np.linspace(t.ppf(0.01, df), t.ppf(0.99, df), 100)plt.plot(x, t.pdf(x, df), alpha=0.6,label="t分布")plt.title('自由度为15时的t分布曲线图', fOntsize=12)mu=0sigma=1x=np.arange(-5,5,0.1)y=stats.norm.pdf(x,0,1)plt.plot(x,y,label="正态分布")plt.legend(loc="best")plt.show()

从上面可以看出，当自由度不断增大时，t分布趋于正态分布。

F分布

F分布由统计学家费希尔（Fisher）首先提出，并以其姓氏的第一个字母命名的，所以叫F分布。

F分布在方差分析、回归分析的显著性检验中有着重要的应用。

可以看到，F分布有两个自由度，分别为第一自由度和第二自由度，而且它们的位置不可互换。

设置第一自由度为10，第二自由度为10，通过Python绘制出F分布的分布曲线图。

from scipy.stats import fdf1=10df2=10x = np.linspace(f.ppf(0.01,df1,df2), f.ppf(0.99,df1,df2), 1000)plt.plot(x, f.pdf(x,df1,df2), alpha=0.6)plt.title('第一自由度为10，第二自由度为10的F分布曲线图', fOntsize=12)plt.show()

增大自由度，第一自由度为100，第二自由度为100，通过Python绘制出F分布的概率密度曲线图。

from scipy.stats import fdf1=100df2=100x = np.linspace(f.ppf(0.01,df1,df2), f.ppf(0.99,df1,df2), 1000)plt.plot(x, f.pdf(x,df1,df2), alpha=0.6)plt.title('第一自由度为100，第二自由度为100的F分布曲线图', fOntsize=12)plt.show()

从上面可以看出，自由度会影响F分布的形态。

总结

正态分布是核心，其他三大分布：卡方分布、t分布、F分布均由正态分布导出。