这章讲述模型框架和概念的时间较多，好像并没有涉及过多的运算，重在一些概念的理解。

Traditional Autoencoder

传统的自编码器常用来进行图像去噪的任务，需要了解其模型架构和流程。

自编码器由两部分组成：从Noisy Input到Z称为编码器，从Z到De-noised Output称为解码器。Input和Output有着相同的维度。

自编码器的最终目的是让X的重建误差最小，这样子能保证输入和输出尽可能地相似。

Auto-encoder的训练是一个无监督学习的过程，因为并不需要标记的数据训练。流程如下所示，它将纯净的图像+噪声整体放入encoder input，同时将纯净的图像放入decoder output，将forward processing得出的图像与纯净图像算出误差进行backpropagation训练。

Variational Autoencoder

Variational Autoencoder会从输入的图像中学习概率分布的参数，然后通过这些参数来产生新的图像。通过输入的图像X学到概率分布的变量μ\muμ和σ\sigmaσ，潜在参数ZZZ的Sample从该概率分布中随机取样得到，接着放入Decoder进行重建。

其训练过程同Auto-encoder一致，在去噪任务中，将噪声图像放入input，纯净图像放入output，通过反向传播进行训练，其中的关键在于反向传播过程中损失Loss的定义，损失的定义中有两项。

先对相关参数进行定义，
qθ(en)(z∣xi)q_{\theta(en)}(z|x_i)qθ(en)​(z∣xi​) 表示接受输入数据xix_ixi​，返回潜在变量ZZZ（ZZZ是由μ\muμ和σ\sigmaσ随机产生的），可以从ZZZ中进行Sampling，θ(en)\theta(en)θ(en)代表encoder的weights和bias。

Pϕ(de)(x^i∣z)P_{\phi(de)}(\hat x_i |z)Pϕ(de)​(x^i​∣z)接受潜在变量ZZZ产生的Sample，得到输出为X^\hat{X}X^，ϕ(de)\phi(de)ϕ(de)代表decoder的weights和bias。

重建的损失li(θ,ϕ)=−Exi∈X[Ez∈Q[logPϕ(de)(x^i∣z)]]l_i(\theta,\phi)=-E_{x_i \in X} \big[E_{z \in Q}[log P_{\phi (de)}(\hat x_i | z)]\big]li​(θ,ϕ)=−Exi​∈X​[Ez∈Q​[logPϕ(de)​(x^i​∣z)]]需要尽可能地小。由于PPP为高斯分布，因此可以对上式重写为=1N∑xi∈X(12σxi^∣z2(xi−μxi^∣z)2)\frac{1}{N}\sum\limits_{x_i \in X}\Big( \frac{1}{2 \sigma^2_{\hat {x_i}|z}}(x_i - \mu_{\hat{x_i}|z})^2\Big)N1​xi​∈X∑​(2σxi​^​∣z2​1​(xi​−μxi​^​∣z​)2).

Kullback–Leibler divergence

但是会存在的问题是，同样li(θ,ϕ)l_i(\theta,\phi)li​(θ,ϕ)较小，qθ(en)(z∣xi)q_{\theta(en)}(z|x_i)qθ(en)​(z∣xi​)和Pϕ(de)(x^i∣z)P_{\phi(de)}(\hat x_i |z)Pϕ(de)​(x^i​∣z)的差异很大，显然不是来自相同的分布。因此这里引入了Kullback–Leibler divergence 来衡量两个分布的差异程度，DKL[qθ(en)(z∣xi)∣∣(N(0,I)]D_{KL}\big[ q_{\theta(en)(z|x_i)} || ( N(0,I)\big]DKL​[qθ(en)(z∣xi​)​∣∣(N(0,I)]衡量了差生图像分布与标准高斯分布的差异。

最终该模型的Loss定义为L(all)=1N∑xi∈X(12σxi^∣z2(xi−μxi^∣z)2)+DKL[qθ(en)(z∣xi)∣∣(N(0,I)]L^{(all)}=\frac{1}{N}\sum\limits_{x_i \in X}\Big( \frac{1}{2 \sigma^2_{\hat {x_i}|z}}(x_i - \mu_{\hat{x_i}|z})^2\Big)+D_{KL}\big[ q_{\theta(en)(z|x_i)} || ( N(0,I)\big]L(all)=N1​xi​∈X∑​(2σxi​^​∣z2​1​(xi​−μxi​^​∣z​)2)+DKL​[qθ(en)(z∣xi​)​∣∣(N(0,I)]，其物理意义为在局部的概率分布中，产生与输入误差最小的输出。

Reparameterization

在模型构建的过程中，潜在变量ZZZ在μ\muμ和σ\sigmaσ固定的情况下涉及了random选择sample的过程，不能通过backpropagate进行训练，因此引入了reparameterization trick. 其将原先平均值为μ\muμ，标准差为σ\sigmaσ的高斯分布，表示为Z=ϵ⋅σx+μxZ= \epsilon\cdot\sigma_x +\mu_xZ=ϵ⋅σx​+μx​，其中ϵ∈N(0,1)\epsilon \in N(0,1)ϵ∈N(0,1)，这样子任意的ZZZ都可以通过对N(0,1)N(0,1)N(0,1)的缩放表示出来。

该方法让原先随机化的过程确定化，从而能够进行backpropagation.