距离空间与赋范空间

距离空间的定义

定义. 设 XXX 是一个非空集合, 若存在函数 d:X×X→Rd: X\times X \rightarrow \mathbb{R}d:X×X→R, 满足:

(1) d(x,y)≥0d(x,y)\geq 0d(x,y)≥0, ∀x,y∈X\forall x,y\in X∀x,y∈X, 且 d(x,y)=0d(x,y)=0d(x,y)=0 当且仅当 x=yx=yx=y;

(2) d(x,y)=d(y,x)d(x,y) = d(y,x)d(x,y)=d(y,x), ∀x,y∈X\forall x,y\in X∀x,y∈X;

(3) d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y), ∀x,y,z∈X\forall x,y,z\in X∀x,y,z∈X;

则称 ddd 是 XXX 上的距离. 进一步地, 若 XXX 是线性空间, 则定义了距离 ddd 的 XXX 称为距离空间, 记为 (X,d)(X,d)(X,d).

距离空间中的极限

定义. 设 {xn}\{x_n\}{xn} 是距离空间中的一个序列, 若存在 x∈Xx\in Xx∈X, 满足 lim⁡n→∞d(xn,x)=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}d(x_{n},x) = 0n→∞limd(xn,x)=0 则称 {xn}\{x_n\}{xn} 按距离收敛于 xxx, xxx 是 {xn}\{x_n\}{xn} 的极限. 记作 lim⁡n→∞xn=x\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=xn→∞limxn=x 或 xn→xx_{n}\rightarrow xxn→x.

Theorem. 在距离空间中, 有:

(1) 收敛序列的极限是唯一的;

(2) 收敛序列是有界的;

(3) 若 {xn}\{x_{n}\}{xn} 收敛, 则 {xn}\{x_{n}\}{xn} 的任一子列也收敛于同一极限.

证明:

(1) 若 {xn}\{x_{n}\}{xn} 存在两个极限 x≠yx\neq yx=y, 则
0≤d(x,y)≤d(x,xn)+d(xn,y)→0(n→∞)0\leq d(x,y)\leq d(x,x_{n})+d(x_{n},y)\rightarrow0 \ (n\rightarrow \infty) 0≤d(x,y)≤d(x,xn)+d(xn,y)→0 (n→∞)
故 x=yx=yx=y, 矛盾.

(2) 任取 ϵ>0\epsilon >0ϵ>0, 存在 NNN, 当 n≥Nn\geq Nn≥N 时, ∣xn−x∣≤ϵ|x_{n}-x|\leq \epsilon∣xn−x∣≤ϵ, 即 ∣xn∣≤∣x∣+ϵ|x_{n}|\leq |x|+\epsilon∣xn∣≤∣x∣+ϵ. 记 M=max⁡1≤nM,∣x∣+ϵ}.

(3) 设 {xn}\{x_{n}\}{xn} 的极限为 xxx, 子列 {xnk}\{x_{n_{k}}\}{xnk} 的极限为 y≠xy\neq xy=x, 则 lim⁡n→∞d(xn,x)=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}d(x_{n},x)=0n→∞limd(xn,x)=0, 即对任意 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0, ∃N\exists N∃N, n≥Nn\geq Nn≥N 时, d(xn,x)≤ϵd(x_{n},x)\leq \epsilond(xn,x)≤ϵ. 进而 nk≥Nn_{k}\geq Nnk≥N 时, d(xnk,x)≤ϵd(x_{n_{k}}, x)\leq \epsilond(xnk,x)≤ϵ. 即 ∃K(N)\exists K(N)∃K(N), 当 k>K(N)k>K(N)k>K(N) 时, d(xnk,x)≤ϵd(x_{n_{k}}, x)\leq \epsilond(xnk,x)≤ϵ. 所以 xxx 也为子列 {xnk}\{x_{n_{k}}\}{xnk} 的极限, 与极限唯一性矛盾.

距离空间中的函数连续性

定义. 设 X,YX,YX,Y 是距离空间, TTT 是 XXX 到 YYY 的映射, 对于 x0∈Xx_{0}\in Xx0∈X, 若对于 ∀ϵ>0\forall \epsilon \gt 0∀ϵ>0, 存在 δ>0\delta\gt0δ>0, 使得对于 ∀x\forall x∀x, d(x,x0)≤δd(x,x_{0})\leq \deltad(x,x0)≤δ , 有 d(Tx,Tx0)≤ϵd(Tx, Tx_{0})\leq \epsilond(Tx,Tx0)≤ϵ, 则称 TTT 在 x0x_{0}x0 连续. 若 TTT 在 XXX 上每一点都连续, 则称 TTT 在 XXX 上连续.

定理. TTT 在 x0x_{0}x0 处连续等价于: (1) 对于 Tx0Tx_{0}Tx0 的任一邻域 VVV, 存在 x0x_{0}x0 的邻域 UUU 使得 T(U)⊂VT(U)\subset VT(U)⊂V, 则称 TTT 在 x0x_{0}x0 处连续.

(2) 对于任意 {xn}\{x_{n}\}{xn}, xn→x0x_{n}\rightarrow x_{0}xn→x0, 序列 Txn→Tx0Tx_{n} \rightarrow Tx_{0}Txn→Tx0.

证明:

(1) 充分性: 对于任意 ϵ>0\epsilon \gt 0ϵ>0, 由题设条件可知, 对于 Tx0Tx_{0}Tx0 的邻域 U(Tx0,ϵ)U(Tx_{0}, \epsilon)U(Tx0,ϵ), 存在 xxx 的邻域 U(x,δ)U(x, \delta)U(x,δ), 使得 T(U)⊂VT(U)\subset VT(U)⊂V, 即对于 ∀x\forall x∀x, d(x,x0)≤ϵd(x,x_{0})\leq \epsilond(x,x0)≤ϵ, Tx∈VTx \in VTx∈V, 即 d(Tx,Tx0)≤ϵd(Tx, Tx_{0})\leq \epsilond(Tx,Tx0)≤ϵ.

必要性: 对于 Tx0Tx_{0}Tx0 的邻域 V=U(Tx0,ϵ)V=U(Tx_{0}, \epsilon)V=U(Tx0,ϵ), 由连续性可知, 存在 δ>0\delta\gt0δ>0, 使得对于 ∀x\forall x∀x, d(x,x0)≤δd(x,x_{0})\leq \deltad(x,x0)≤δ, 有 d(Tx,Tx0)≤ϵd(Tx, Tx_{0})\leq \epsilond(Tx,Tx0)≤ϵ, 所以对于 ∀x∈U(x,δ)\forall x\in U(x, \delta)∀x∈U(x,δ), 满足 d(Tx,Tx0)≤ϵd(Tx, Tx_{0})\leq \epsilond(Tx,Tx0)≤ϵ, 即 T(U(x,δ))⊂VT(U(x, \delta))\subset VT(U(x,δ))⊂V.

(2) 充分性: 任取 ϵ>0\epsilon\gt 0ϵ>0, 假设 TTT 在 x0x_{0}x0 处不收敛, 则存在 ϵ>0\epsilon\gt 0ϵ>0, 使得对于 ∀δ>0\forall \delta\gt 0∀δ>0, 总存在 xxx, d(x,x0)≤δd(x,x_{0})\leq \deltad(x,x0)≤δ, 有 d(Tx,Tx0)>ϵd(Tx, Tx_{0})\gt \epsilond(Tx,Tx0)>ϵ. 取 δ=1n\delta=\frac{1}{n}δ=n1, 每个 δ\deltaδ 对应的 xxx 可构成 {xn}\{x_{n}\}{xn}, 则 xn→x0x_{n}\rightarrow x_{0}xn→x0, 由题设可知, 序列 Txn→Tx0Tx_{n} \rightarrow Tx_{0}Txn→Tx0. 而 d(Txn,Tx0)>ϵd(Tx_{n}, T x_{0})\gt \epsilond(Txn,Tx0)>ϵ, 说明 Txn↛Tx0Tx_{n} \nrightarrow Tx_{0}Txn↛Tx0, 矛盾.

必要性: 设 TTT 在 x0x_{0}x0 处连续, 则对于 ∀ϵ>0\forall \epsilon \gt 0∀ϵ>0, 存在 δ>0\delta\gt 0δ>0, 使得当 d(x,x0)≤δd(x,x_{0}) \leq \deltad(x,x0)≤δ 时, d(Tx,Tx0)≤ϵd(Tx, Tx_{0})\leq \epsilond(Tx,Tx0)≤ϵ, 若 xn→x0x_{n}\rightarrow x_{0}xn→x0, 则存在 N>0N\gt 0N>0, 使得当 n≥Nn\geq Nn≥N 时, d(xn,x0)≤δd(x_{n}, x_{0})\leq \deltad(xn,x0)≤δ, 因此当 n≥Nn\geq Nn≥N 时, d(Tx,T0)≤ϵd(Tx, T_{0})\leq \epsilond(Tx,T0)≤ϵ, 所以 Txn→TxTx_{n}\rightarrow TxTxn→Tx.

赋范空间的定义

设 XXX 是一个线性空间, 其标量域为 KKK, 若函数 ∥⋅∥:X→R\left\|\cdot\right\|: X\rightarrow \mathbb{R}∥⋅∥:X→R, 满足

(1) ∥x∥≥0\left\|x\right\|\geq 0∥x∥≥0, ∀x\forall x∀x, 且 ∥x∥=0\left\|x\right\| = 0∥x∥=0 当且仅当 x=0x=0x=0;

注:

(1) 赋范空间 (X,∥⋅∥)(X, \parallel \cdot\parallel)(X,∥⋅∥) 可以视为距离空间: 定义 d(x,y)=∥x−y∥d(x,y) = \left\|x-y\right\|d(x,y)=∥x−y∥, ∀x,y∈X\forall x,y\in X∀x,y∈X, 可以证明 d(x,y)d(x,y)d(x,y) 是 XXX 上的距离. 一般也把赋范空间视作距离空间, 距离的定义如上所示.

(2) 范数还有一条常用性质:
∣∥x∥−∥y∥∣≤∥x−y∥| \parallel x \parallel - \parallel y \parallel | \leq \parallel x-y \parallel ∣∥x∥−∥y∥∣≤∥x−y∥
证明: 由三角不等式, 有
∥x∥≤∥x−y∥+∥y∥\parallel x \parallel\leq \parallel x-y \parallel + \parallel y \parallel ∥x∥≤∥x−y∥+∥y∥

∥y∥≤∥y−x∥+∥x∥\parallel y \parallel \leq \parallel y-x \parallel + \parallel x \parallel ∥y∥≤∥y−x∥+∥x∥

整理即可得上式.

范数的连续性

范数 ∥x∥\left\|x\right\|∥x∥ 是连续函数

证明: 范数 ∥x∥\left\|x\right\|∥x∥ 是连续函数的充要条件是: 对于任意 x∈Xx\in Xx∈X, 满足: 对于任意收敛于 xxx 的序列 {xn}\{x_{n}\}{xn}, 有 ∥xn∥→∥x∥\left\|x_{n}\right\|\rightarrow \left\|x\right\|∥xn∥→∥x∥.

已知 lim⁡n→∞∥xn−x∥=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left\|x_{n}-x\right\| = 0n→∞lim∥xn−x∥=0, 求证 lim⁡n→∞∣∥xn∥−∥x∥∣=0\lim\limits_{n\rightarrow \infty}|\left\|x_{n}\right\|- \left\|x\right\||=0n→∞lim∣∥xn∥−∥x∥∣=0. 由范数的性质, 有
∣∥xn∥−∥x∥∣≤∥xn−x∥|\left\|x_{n}\right\|- \left\|x\right\||\leq \left\|x_{n}-x\right\| ∣∥xn∥−∥x∥∣≤∥xn−x∥
命题显然成立.

赋范空间中的加法和数乘运算连续. 即: 若 xn→x,yn→yx_{n}\rightarrow x, y_{n}\rightarrow yxn→x,yn→y, 则 xn+yn→x+yx_{n}+y_{n}\rightarrow x+yxn+yn→x+y; 若 xn→xx_{n} \rightarrow xxn→x, 则 αxn→αx\alpha x_{n}\rightarrow \alpha xαxn→αx

∥xn+yn−x−y∥≤∥xn−x∥+∥yn−y∥→0,n→∞\left\|x_{n}+y_{n}-x-y\right\|\leq \left\|x_{n}-x\right\|+\left\|y_{n}-y\right\| \rightarrow 0, n\rightarrow \infty ∥xn+yn−x−y∥≤∥xn−x∥+∥yn−y∥→0,n→∞

∥αxn−αx∥≤α∥xn−x∥→0,n→∞\left\|\alpha x_{n}-\alpha x\right\|\leq \alpha \left\|x_{n}-x\right\| \rightarrow 0, n\rightarrow \infty ∥αxn−αx∥≤α∥xn−x∥→0,n→∞

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