文章目录

• 0、概念
• • 0.1 定义：
  • 0.2 核心思想：
  • 0.3 适用范围：
  • 0.4 基本步骤：
• 1、例子
• • 1.1、解法一：递归
  • 1.2、解法二：带记录的递归
  • 1.3、解法三：动态规划
• 2、总结
• 3、引用

0、概念

0.1 定义：

** 动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP），是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。。

0.2 核心思想：

动态规划最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。

0.3 适用范围：

什么样的题目适合动态规划？ 如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。
动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法，常见的分类如下，具体啥含义可以自行查询：动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。
1、线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等；
2、区域动规：石子合并，加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等；
3、树形动规：贪吃的九头龙，二分查找书，聚会的欢乐，数字三角形等；
4、背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶等；
5、应用实例：最短路径问题，项目管理，网络流优化等。

0.4 基本步骤：

动态规划的核心思想就是拆分子问题，记住过往，减少重复计算。 并且动态规划一般都是自底向上的，动态规划的大致思路：

1. 穷举分析
2. 确定边界
3. 找出规律，确定最优子结构
4. 写出状态转移方程

1、例子

问题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法？

这个问题乍一看无从分析，但是穷举是可以的，我们倒着推要想：
1、跳到第10级台阶，要么是先跳到第9级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第8级，然后一次迈2级台阶上去。
同理，要想跳到第9级台阶，要么是先跳到第8级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第7级，然后一次迈2级台阶上去。
要想跳到第8级台阶，要么是先跳到第7级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第6级，然后一次迈2级台阶上去。
…
化成数学公式

f（10） = f（9）+f(8)
f (9)  = f(8) + f(7)
f (8)  = f(7) + f(6)
...
f(3) = f(2) + f(1)即通用公式为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)

1.1、解法一：递归

    //伪代码int recursion (int n) {if(n == 1){ return 1;}if(n == 2){ return 2;}return recursion (n-1) + recursion (n-2);}

递归算法有缺点，当这个n很大时候，那么系统开销很大，因为要调用的层级太多，系统保存的量很大，而起很多是重复量，优化代码如下

1.2、解法二：带记录的递归

    //伪代码//用map保存计算过程量，作为备忘录Map recordMap = new HashMap();int recursion (int n) {if(n == 1){ return 1;}if(n == 2){ return 2;}//先判断有没计算过，即看看备忘录有没有if (recordMap.containsKey(n)) {return recordMap.get(n);} else {// 备忘录没有，即没有计算过，执行递归计算,并且把结果保存到备忘录map中recordMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);   //防止越界return recordMap.get(n);}}

1.3、解法三：动态规划

动态规划其实包含上述递归的思想，但是和带记录的递归不一样的是，递归是自上而下的，动态规划是自下而上的，取得局部最优解在往上去取得上层最优解，并且局部最优解不受上层影响。

    //伪代码int numWays(int n) {if (n<= 1) {return 1;}if (n == 2) {return 2;}int a = 1,b = 2;;int temp = 0;for (int i = 3; i <= n; i++) {temp = (a + b)% 1000000007;a = b;b = temp;}return temp;}

2、总结

对应0的解题步骤，结合1的实例可以看出主要步骤

1. 穷举分析：
   首先对于问题，我们一步步分析其中规律，确定该问题是不是该
   问题穷举法完成，不管其复杂与否。

2. 确定边界：
   通过穷举分析，我们发现，当台阶数是1的时候或者2的时候，可 以明确知道青蛙跳法。f（1） =1，f(2) = 2，当台阶n>=3时，已经呈现出规律f(3) = f(2) + f(1) =3，因此f（1） =1，f(2) = 2就是青蛙跳阶的边界。

3. 找出规律，确定最优子结构：
   n>=3时，已经呈现出规律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，因此，f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构，关于最优子结构，我是这么理解的，就是可以用一个公式表示该问题的所有一般规律，并且是无记忆的。

4. 写出状态转移方程：
   f(n) = f(n-1) + f(n-2)
   f（1） =1，f(2) = 2

5. 代码实现一般模板：

dp[0][0][...] = 边界值
for(状态1 ：所有状态1的值){for(状态2 ：所有状态2的值){for(...){//状态转移方程dp[状态1][状态2][...] = 求最值}}
}

3、引用

1、看一遍就理解：动态规划详解
2、算法-动态规划 Dynamic Programming–从菜鸟到老鸟
3、第9章 动态规划
4、动态规划的实际应用：图片压缩算法