1. 机器数和真值

在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

1.1 机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

1.2 真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

2. 原码, 反码, 补码的基础概念

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

2.1 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制：

• [+1]原 = 0000 0001

• [-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是：

[1111 1111 , 0111 1111]即[-127 , 127]

原码就是人脑最容易理解和计算的表示方式.

2.2 反码

反码的表示方法是：

• 正数的反码是其本身
  • [+1] = [00000001]原 = [00000001]反
• 负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反
  • [-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

2.3 补码

补码的表示方法是：

• 正数的补码就是其本身
  • [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
• 负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1(即在反码的基础上+1)
  • [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

3. 为何要使用原码, 反码和补码

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同：
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-2^31, 2^31-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

4. 为什么补码的计算结果准确

4.1 时钟问题

计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢？我们可以:

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代！

现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉。

首先介绍一个数学中相关的概念:：同余

4.2 同余的概念

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余：

记作 a ≡ b (mod m)

读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明:

4 mod 12 = 416 mod 12 = 428 mod 12 = 4

所以4, 16, 28关于模 12 同余.

4.3 负数取模

正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

在几乎所有的计算系统中，取模运算都满足下面这个公式：

a = nq + r  |r| < |a|
假设 q 是 a、b 相除得到的商(quotient)，r 是相应的余数(remainder)

然而，取模操作又依赖于编程语言和底层硬件，例如，如下代码：

System.out.println(-7 % 3);
System.out.println(-8 % 3);
System.out.println(3 % (-7));
System.out.println(3 % (-8));

先来看看java执行结果：

-1
-2
3
3

再看看python3运行的结果：（没有环境可以通过：https://c.runoob.com/访问）

2
1
-4
-5

这是为什么呢？

我们知道，当余数不为 0 的时候，取整除，可能出现多种方式，下面是一些你应该知道的例子：

• 向上取整。向 +∞ 方向取最接近精确值的整数，也就是取比实际结果稍大的最小整数，也叫 Ceiling 取整。这种取整方式下：17 / 10 = 2，5 / 2 = 3, -9 / 4 = -2
• 向下取整。向 -∞ 方向取最接近精确值的整数，也就是取比实际结果稍小的最大整数，也叫 Floor 取整。这种取整方式下：17 / 10 = 1，5 / 2 = 2, -9 / 4 = -3
• 向零取整。向 0 方向取最接近精确值的整数，换言之就是舍去小数部分，因此又称截断取整（Truncate）。这种取整方式下：17 / 10 = 1，5 / 2 = 2, -9 / 4 = -2

我们再来看刚才的公式

a = nq + r 
我们知道商 q = a/n，从而得出
r = a - (a/n) * n
而 (a/n) 这个结果取决于上面几种方式用哪个

下面我们就重点看这个 (a/n)

常用的计算机语言用的除法方式是下面这两种：truncate 除法 和 floor 除法。

truncate 除法 即是上面的向零取整，也叫趋零截尾，而 floor 除法 即是上面的向下取整，也叫趋负无穷截尾。

而 Java/C 等语言用的是 truncate 除法，Python 用的是 floor 除法。

所以，上面的取余运算中：

在 Java/C 中，

-7 % 3 = -1
7 % (-3) = 1 
// 下面是推倒过程
-7 % 3 = -7 - trunc(-7/3) * 3 = -7 - (-2) * 3 = -7 + 6 = -1
7 % (-3) = 7 - trunc(7 / (-3)) * (-3) = 7 - (-2) * (-3) = 7 - 6 = 1

在 Python 中，

-7 % 3 = 2
7 % (-3) = -2
// 下面是推倒过程
-7 % 3 = -7 - floor(-7/3) * 3 = -7 - (-3) * 3 = -7 + 9 = 2
7 % (-3) =  7 - floor(7 / (-3)) * (-3) = 7 - (-3) * (-3) = 7 - 9 = -2

如果是其他语言，先去搞清楚是用的那种方式。

这里为了方便表示正数和负数同余，在下面的论证过程中我们采用floor除法，即-2 % 12 = 10

4.4 开始证明

再回到时钟的问题上:

回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时

注意, 这里发现的规律!

结合上面学到的同余的概念，实际上：

(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10

-2与10是同余的.

(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8

-4与8是同余的.

距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

线性运算定理：

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)(-2) ≡ 10 (mod 12)7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反

先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

发现有如下规律:

(-1) mod 127 = 126126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补

如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

[0111 1111]原 = 127

其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

(-1) mod 128 = 127127 mod 128 = 1272-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]

5. 表示0和取值范围的问题：

5.1 原码、反码、补码 0的问题

用4位二进制原码表示0：-0=1000 +0=0000

用4位二进制反码表示0：-0=1111 +0=0000

用4位二进制补码表示0：-0=0000 +0=0000

5.2 原码、反码、补码 表示范围

n+1位数字，绝对值最大的原码是 -(2^n - 1)和 2^n - 1

n+1位数字，绝对值最大的反码是 -(2^n - 1) 和 2^n - 1

n+1位数字，绝对值最大的补码是 -2^n

参考：
https://blog.csdn.net/liuzhifuabc/article/details/84393398
https://blog.csdn.net/zhige_me/article/details/80980566